異夫規律（Zipf’s law）

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2014年07月28日 06:26 AM

異夫的世界

英國《金融時報》中文網專欄作家 何帆

大學是養怪人的地方。異夫（George Kingsley Zipf, Zipf的發音是/zif/）就是一個怪人。他1902年出生於美國的一個德國移民家庭，到他是第三代移民。1924年，異夫在哈佛大學畢業，然後到德國留學。1929年，他拿到了哈佛大學比較文學博士學位，開始在哈佛教授德語。後來，他被聘為哈佛大學德語系系主任，同時擔任“校聘講師”（University Lecturer），這意味著他想講什麼課就可以講什麼課。他除了講授德語，還鑽研漢語、人口學，但真正讓異夫教授青史留名的是，他發現了一個奇特的規律：異夫規律（Zipf’s law）。

20世紀40年代，威斯康辛大學的學者花了14個月的時間，把喬伊絲的名著《尤利西斯》從頭到尾列印在硬紙板上，然後把每一個詞都裁下來，相同的詞黏在同一張大紙上。經過這一番折騰，他們找出了喬伊絲使用的每個辭彙出現的頻率。這個發現引起了異夫的注意。他一眼看出，這裏面暗藏玄機。

在《尤利西斯》中，I出現的頻率排名第10，在全書中共出現了2653次。“say”出現的頻率排名第100，在全書中共出現了265次。“bag”出現的頻率排名第1000，在全書中共出現了26次。排名第10,000的是個生僻的詞：“orangefiery”，這個詞僅出現了兩次。

異夫發現，某個辭彙出現的序號和該詞出現的次數的乘積幾乎是一個常數。第10名出現的次數是第100名的10倍，第1000名的100倍，第10,000名的1000倍。以此類推，第2名出現的次數大約是第1名出現次數的1/2，第3名出現的次數大約是第1名出現次數的1/3，…後來，人們發現，在英語中使用次數最多的詞是“the”，第2名是“of”，第3名是“and”。“the”出現的頻率為7%，“of”出現的頻率恰好為3.5%。“異夫規律”不僅僅適用于英文，其他語言，包括中文在內，都符合這一規律。

異夫教授還在其他的地方發現了這一規律。城市人口同樣符合“異夫規律”。根據1940年美國人口調查，人口最多的城市是紐約，當時有1200萬人，排名第10的是俄亥俄州的克利夫蘭（Cleveland），人口為120萬，排名100的是俄亥俄州的漢密爾頓（Hamilton），人口為11萬。同樣，一個城市的大小排序和其人口數量的乘積幾乎是個常數。“異夫規律”如今已經成了地理經濟學的秘密武器，它雄辯地指出，城市的擴大能夠帶來“規模經濟”。美國桑塔菲研究所（Santa Fe Institute）的物理學家Geoffrey West發現，如果城市的規模擴大一倍，創新的數量、人均工資水準都將提高15%，當然，愛滋病發病率、犯罪率同樣也會提高。不同的國家，比如美國和日本的城市化走過的道路相差極大，但殊途同歸，最後的結果都是這樣。克魯格曼在《地理與貿易》一書中就曾感歎，在社會科學中能夠被稱為“規律”的寥寥無幾，勉強能稱得上“規律”的，和現實世界擬合得也很不好，唯獨這個“異夫規律”，居然和現實世界幾乎擬合得天衣無縫。

為什麼會出現這一規律呢？按照異夫的解釋，這是因為“最小努力法則”（principle of least effort）。人生來是懶惰的，能省事就省事。我們頻繁地使用有限幾個辭彙，是因為這樣不用太動腦筋。我們都願意住在大城市，是因為大城市裏生活舒適。異夫的這一觀點只是他自己的臆想。他並沒有給出嚴密的數學證明。從直覺來說，他的說法站不住腳。喬伊絲可不是一個懶惰的作家，他有意地炫耀自己的才華。具有冒險精神的年輕人才會到大城市，懶人很可能會選擇生活在小城市裏。

“異夫規律”的背後，揭示的是一種人類社會的內在秩序。早在異夫之前，義大利經濟學家帕累托就曾經指出，一個社會中，個人的財富排序和其擁有的財富數量之乘積幾乎是一個常數。第2名富翁的財富大約為第1名的1/2，第3名富翁的財富大約為第1名的1/3，以此類推。這意味著，富有的人極其富有且為數極少，貧窮的人一無所有且人數眾多。1906年，帕累托寫到，在義大利，20%的人口擁有80%的土地。這啟發了一位做管理諮詢的專家Richard Koch。他在1997年出版了一本暢銷書《80/20定律》，將帕累托的思想幾乎推廣到極致：80%的工作是由20%的人完成的（你我都在這20%之內）；80%的利潤來自20%的客戶；80%的抱怨也來自20%的客戶；80%的電視觀眾只看20%的電視節目；80%的豔遇來自20%的“把妹達人”，等等。

有意思的是，“異夫規律”和“80/20定律”不僅僅出現在人類社會中，在自然界裏也時常可見蹤影。帕累托自己發現，他花園裏80%的豆子來自20%的豆莢。“異夫規律”和“80/20定律”說的是同樣一件事情：即一個變數和另一個變數的冪成反比，這被稱為“冪定律”（power laws）。冪定律無處不在：小的地震每時每刻都在發生，但我們幾乎感覺不到，大的地震發生的次數很少，但帶來的破壞力巨大。小的森林火災時有發生，但大多數時候會自生自滅，大的森林火災發生的次數很少，但一旦失控，有可能將整個森林燒掉。

這一切無法僅僅用“最小努力法則”來解釋。這一切很可能無法用經濟學家所熟悉的“動機決定行為”的理性選擇套路來解釋。統計學的“正態分佈”在這裏徹底失靈。“正態分佈”預言的是一個趨向中庸的社會：天才很少、傻瓜也很少，出現最多的是你我這樣的凡人。“異夫規律”則預言的是一個趨向極端的世界，少數壓倒多數，少數統治多數。

如何解釋“異夫規律”和“冪定律”？有的學者看到了其中的“隨機遊走”，有的學者強調在演進過程中的積累，有的學者認為這代表了自然的常態，有的學者預言這意味著最後會出現革命。我們至今還無法找到一個統一的理論，解釋這種現象的內在動因。但是，就思想的探索而言，“異夫規律”告訴我們，在我們熟悉的經濟學世界之外，還存在著很多平行宇宙。

【作者注】本文參考了Alex Bellos, Through the Looking-glass: How Life reflects numbers and numbers reflect life. 這是一本關於數學的科普讀物；以及M. E. J. Newman (2005), “Power laws, Pareto distributions and Zipf's law”, Contemporary Physics, Sep/Oct 2005, Vol. 46 Issue 5, p323-351.

Zipf的主要著作包括1941年出版的National unity and disunity, 以及1949年出版的Human behavior and the principle of least effort. 亦可參閱：Richard Koch, The 80/20 principle: The secret of achieving more with less, Nicholas Brealey Publishing. 國內有多種中譯本。